Решение задачи №1:
Если есть 3 точки A(x
0;y
0;z
0), B(x
1;y
1;z
1) и C(x
2;y
2;z
2), не лежащие на одной прямой, то через них проходит только одна плоскость, определяемая уравнением:
| x-x
0 y-y
0 z-z
0 |
| x
1-x
0 y
1-y
0 z
1-z
0 | = 0
| x
2-x
0 y
2-y
0 z
2-z
0 |
Нужно вычислить определитель, подставить в полученное выражение координаты четвертой точки. Если равенство при подстановке координат выполняется, то все четыре точки лежат в одной плоскости.
Решение задачи №2:
Составляем матрицу A, столбцами которой являются координаты векторов a
1, a
2, a
3, a
4. Вычисляем ее определитель:
| 0 1 -1 3 |
| 3 -1 3 -1 | = -228, т.е. не равен нулю.
| 5 -4 2 -2 |
| 4 3 -4 2 |
Это и есть необходимое и достаточное условие линейной независимости четырех векторов. Т.е. они образуют базис.
Формула для нахождения координат ветора b в новом базисе:
Y
b = A
-1*X
b,
где Y
b - вектор столбец координат в новом базисе, X
b - вектор столбец координат в старом базисе (т.е. столбец из цифр -8,4,0,-4 ).
Итого, получим координаты вектора: {0;2;1;-3}.
Методика расчета:
http://www.ssga.ru/AllMetodMaterial/metod_mat_for_ioot/metodichki/martynov/primery.htm - точно такая же задача, только для трехмерного случая, вычисление координат в новом базисе путем решения линейной системы.
http://www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/La/09/03/t_c.htm - матричный метод, n-мерный случай.
P.S. Все числа и решения являются моими домыслами и не претендуют на правильность. Перед сдачей все необходимо тщательно проверить.
Покупка / Продажа
Вакансии, резюме, услуги, жильё, аренда... 