Форум портала Metropolis

В пятницу вышка в универе, задали задание, как решить додуматься не могу...его необходимо решить, т.к. без него будет не допуск к экзамену...помогите пожалуйста...тема : аналитическая геометрия. векторы.

Примеры:

1) Показать, что точки A(5;7;-2), B(3;1;-1), C(9;4;-4) и D(1;5;0) лежат в одной плоскости.

2) Даны вектора а₁={0;3;5;4}, а₂={1;-1;-4;3}, а₃={-1;3;2;-4}, а₄={3;-1;-2;2} и b={-8;4;0;-4}.
Показать, что вектора  а₁, а₂, а₃, а₄ образуют базис, и найти координаты вектора b в этом базисе.

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА...ОЧЕНЬ НАДО!!!

есть догадка насчет 1:
ур-е плоскости, проходящей через 3 заданные точки:
нужно составить 3 вектора:
AB={xb-xa,yb-ya,zb-za}={3-5,1-7,-1-(-2)}={-2,-6, 1}
AC={xc-xa,yc-ya,zc-za}={9-5,4-7,-4-(-2)}={ 4,-3,-2}
AD={xd-xa,yd-ya,zd-za}={1-5,5-5, 0-(-2)}={-4, 0,  2}
...и составить из этих чисел определитель 3-го порядка.
если он равен 0, то все 4 точки лежат в одной плоскости...

Решение задачи №1:
Если есть 3 точки A(x₀;y₀;z₀), B(x₁;y₁;z₁) и C(x₂;y₂;z₂), не лежащие на одной прямой, то через них проходит только одна плоскость, определяемая уравнением:
| x-x₀  y-y₀  z-z₀   |
| x₁-x₀ y₁-y₀ z₁-z₀ | = 0
| x₂-x₀ y₂-y₀ z₂-z₀ |

Нужно вычислить определитель, подставить в полученное выражение координаты четвертой точки. Если равенство при подстановке координат выполняется, то все четыре точки лежат в одной плоскости.

Решение задачи №2:
Составляем матрицу A, столбцами которой являются координаты векторов a₁, a₂, a₃, a₄. Вычисляем ее определитель:
|  0  1 -1  3  |
|  3 -1  3 -1  |  = -228, т.е. не равен нулю.
|  5 -4  2 -2  |
|  4  3 -4  2  |

Это и есть необходимое и достаточное условие линейной независимости четырех векторов. Т.е. они образуют базис.

Формула для нахождения координат ветора b в новом базисе:
Y_b = A^-1*X_b,
где Y_b - вектор столбец координат в новом базисе, X_b - вектор столбец координат в старом базисе (т.е. столбец из цифр -8,4,0,-4 ).
Итого, получим координаты вектора: {0;2;1;-3}.

Методика расчета:
http://www.ssga.ru/AllMetodMaterial/metod_mat_for_ioot/metodichki/martynov/primery.htm - точно такая же задача, только для трехмерного случая, вычисление координат в новом базисе путем решения линейной системы.
http://www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/La/09/03/t_c.htm - матричный метод, n-мерный случай.

P.S. Все числа и решения являются моими домыслами и не претендуют на правильность. Перед сдачей все необходимо тщательно проверить.

по первой согласен, а по второй ты еще и мне помог.
в субботу тоже эту байду сдавать.
спасибо. :)

огромное спасибо DSA  :)

  Эх чувак, чувак - это задачи превого курса, первого семестра.... :o Ты даже не представляешь что будет дальше.... :o :D  Если это  для тебя ни как, то просто ппц... :D

+1
У меня скоро экзамен по эконометрике... за весь семестр я так и не понял, о чем этот предмет)))) Так что вышка - это совсем не страшно. Я ее с первого раза всегда сдавал.